本节的目标是构建一个基本的市场理论框架，并在其中谈论期权定价这一主要问题。一个基础的市场大概由两部分组成——股票市场和货币市场。

首先来看股票市场，我们用离散时间\(\rm

\{0,1,2,\cdots,n\}\)，\(\rm

S_k\)表示股票在\(\rm

k\)时刻的价格，是一个随机变量，组成一个随机序列。投资人可以任意买卖股票，但由于其随机性，股票市场存在风险。用\(\rm\mathcal{F}_k\)表示\(\rm\{S_1,S_2,\cdots,S_k\}\)生成的事件域，不妨有\(\rm\mathcal{F}=\mathcal{F}_n\)；设\(\overline{\mathbb{P}}\)为样本空间上另一个概率，如果\(\rm\forall

\mathcal{A}\in\mathcal{F}_n,\mathbb{P}(\mathcal{A})\gt0\iff\overline{\mathbb{P}}(\mathcal{A})\gt0\)那我们称两个概率等价。

再来看货币市场，就是说任何人都可以以固定的利息率\(\rm r\)（向银行）存款或贷款，即银行里\(1\)单位的货币下一时刻的会变成\(\rm 1+r\)，\(\rm

r\)也就是货币的时间价值。货币市场是完全可以预测的，因此是不存在风险的，也叫无风险市场。特别的，我们在将\(\rm n\)时刻所持有财产时与\(0\)时刻比较时，因为时间价值的存在，要乘\(\rm (1+r)^{-n}\)折现比较（直观上来说将\(0\)时刻的钱存进银行自然会变为\(\rm (1+r)^n\)倍）

那在这样一个简化的模型当中，一个投资策略是什么呢？我们只需要关心每个时刻买入卖出的股票数量就可以了，但注意一个合法的策略理应只基于当前时刻及以前的信息，这个条件的描述则依赖于可测性。于是我们有

定义 随机过程\(\rm\Delta=

\{\Delta_0,\cdots,\Delta_{n-1}\}\)称为一个投资策略，如果\(\rm \Delta_k\)是\(\rm \mathcal{F}_k\)可测的。这里的\(\Delta_k\)代表的是投资者\(\rm

k\)时刻持有的股票总数，也可以看作每一时刻开始前会把所有的股票换成资金，再重新购买股票。一个投资过程是可许的，如果任何\(\rm

\Delta_k\)有界。一个投资过程是自融资的，如果除了初始投资\(\rm

X_0\)外，投资过程中投资者的财富变化只来自市场。

我们进一步计算每一时刻间财富的变化。先来观察下每一时刻的行动：\(\rm X_k\)表示投资人在\(\rm k\)时刻拥有的财富，然后他用\(\rm \Delta_kS_k\)的资金买了\(\rm \Delta_k\)份股票，且把剩下的资金\(\rm

X_k-\Delta_kS_k\)存入银行。于是由于股票变化，\(\rm k+1\)时刻投资人财富为 \[\rm

X_{k+1}=\Delta_kS_{k+1}+(1+r)(X_k-\Delta_kS_k)\] 过程\(\rm X=\{X_k:0\leq k\leq

n\}\)称为初始投资为\(\rm

X_0\)投资策略为\(\Delta\)的自融资方式下的财富过程。上式写为

\[\rm

X_{k+1}-(1+r)X_k=\Delta_k(S_{k+1}-(1+r)S_k)\]

注意到这其实很接近我们之前讨论的随机积分的离散形式，进一步如果我们考察其在\(0\)时刻的折现，即\(\rm

\overline{X}_k:=(1+r)^{-k}X_k,\overline{S}_k:=(1+r)^{-k}S_k\)，自然得到如下结论

引理3.4.1

财富过程为投资策略关于股票价格的随机积分，即 \[\rm

\overline{X}_{k+1}-\overline{X}_k=\Delta_k(\overline{S}_{k+1}-\overline{S}_k)\]

接下来的时间我们来考察什么样的市场是成熟完善的。首先我们引入套利的概念，所谓套利是指一个投资策略可以无风险地从一无所有而赚钱，这样的行为似乎不应该在成熟的市场发生。我们在数学上给出严格的定义：

定义 一个市场存在套利是指存在一个可许的投资策略\(\Delta\)使得其初始投资\(\rm

X_0=0\)，自融资方式下的财富过程满足\(\rm X_n\geq 0\)且\(\rm\mathbb{P}(X_n\gt 0)\gt

0\)；一个无套利的市场称为有效的。

上述的定义还是太依赖于投资策略了，我们接下来的目标是内蕴地刻画这样一个有效的市场，也就是寻找判断一个市场是否有效的方法，或者说等价条件。

定义 如果概率\(\overline{\mathbb{P}}\)等价于\(\mathbb{P}\)且使得折现后的股票价格\(\{\rm\overline{S}_k\}\)在\(\overline{\mathbb{P}}\)下是一个鞅，那么\(\overline{\mathbb{P}}\)称为等价鞅测度。

定理3.4.2 如果等价鞅测度存在，那么市场有效。

证明 如果折现后的股票价格在\(\overline{\mathbb{P}}\)下为鞅，根据之前对于财富过程的讨论，折现后财富过程也是鞅，于是鞅基本定理给出\(\rm

\overline{\mathbb{E}}X_n=(1+r)^n\overline{\mathbb{E}}X_0\)若初始投资\(\rm X_0=0\)则\(\rm \overline{\mathbb{E}}X_0=0\)于是\(\rm X_n\geq 0\)可推出\(\overline{\mathbb{P}}(\rm

X_n\gt0)=0\)结合两个测度的等价性即得市场无套利。

上述定理给出了市场有效的充分条件，事实上，这个条件也是必要的，但证明过于复杂，在这里我们仅在一类特殊的市场下考虑这个问题。具体来说，如果股票价格每次变化都是乘上一个独立同分布的服从Bernoulli的随机变量，也就是\(\rm

S_k=S_0\cdot\xi_1\cdots\xi_k,k=1,\cdots,n\)且\(\rm\forall

k,\mathbb{P}(\xi_k=u)=p,\mathbb{P}(\xi_k=d)=q=1-p\)其中\(\rm u,d\)为常数且有\(\rm 0\lt d\lt 1\lt

u\)，直观来说就是股票在\(\rm

k+1\)时刻分别以概率\(\rm

p,q\)变为\(\rm

k\)时刻价格的\(\rm u\)倍和\(\rm

d\)倍。满足这个条件的市场被称作二项股票市场。一个二项股票市场其实只与\(\xi_k\)的分布及初始值和利率有关，即一个二项市场可以记为\(\rm

M(r,u,d,p,S_0)\)；我们来研究二项市场的有效性，不难得到下面这个定理

定理3.4.3 二项市场有效当且仅当\(\rm d\lt 1+r\lt u\)

证明 必要性的证明只需在\(\rm

d\geq 1+r\)与\(\rm u\leq

1+r\)时分别给出套利策略即可。具体来说，当\(\rm d\geq

1+r\)时，向银行贷款买股票是一定不会亏且有收益的概率为正，这样就是一个套利策略。同理可以给出\(\rm u\leq

1+r\)时的套利策略。这样即给出必要性的证明。

充分性方面，我们根据定理3.4.2只需证明这个市场有等价鞅测度即可。即我们希望\(\overline{\mathbb{P}}\)下的\(\rm \xi_1,\cdots,\xi_n\)独立同分布且\(\rm\mathbb{P}(\xi_k=u)=\overline{p},\mathbb{P}(\xi_k=d)=\overline{q}=1-\overline{p}\)于是等价保证了，只需取适当的\(\rm\overline{p}\)使\(\rm (S_k)\)为鞅即可。也即 \[\rm

(1+r)^{-k}S_k=\overline{\mathbb{E}}((1+r)^{-k-1}S_{k+1}|\mathcal{F}_k)=(1+r)^{-k}S_k\overline{\mathbb{E}}({1\over

1+r}\xi_{k+1})\] 于是自然有\(\rm\overline{p}={1+r-d\over

u-d}\)时为等价鞅测度，充分性得证。

以上的投资策略都是在金融市场中最基础的投资，在几百年的发展后，金融市场衍生出了大量不同的金融产品，统称为衍生证券或者金融产品。我们下面介绍期权这一基本的衍生产品。期权本身也包括很多种，我们以欧式买入期权为例。所谓欧式买入期权是指在商定的时刻可以以商定的价格来购买股票的

一份合约，是一种权利而非义务。于是一个在商定时刻\(\rm n\)以商定价格\(\rm K\)购买股票的欧式期权在\(\rm n\)时刻价值为 \[\rm V_n:=(S_n-K)^+\]

很好理解，就是如果股票价格高于商定价格，就以商定价格买入，于是获利\(\rm S_n-K\)，否则就没有收益。\(\rm V_n\)为\(\rm

S_n\)函数，是\(\rm

\mathcal{F}_n\)可测的随机变量。

接下来我们关注一份期权应该被卖出多少钱，也就是期权的合理价格。一个随机商品的通常价格是它的期望，这由大数定律保证。但这个价格是存在风险的，比如保险公司的赔付。但由于期权本身基于股票价值，所以它可以有一个无风险的价格。本质上来说，在市场足够丰富的情况下，期权作为投资可以通过之前讨论的一般投资方式复制。而期权出现的目的则是作为一种杠杆，即用相同的钱可以买更多的期权，但在亏损时期权会一文不值，而投资股票至少还持有股票。我们把这些基本的观察在数学上确定下来

定义 一个在\(\rm

n\)时刻到期的衍生证券是指一个\(\rm

\mathcal{F}_n\)可测的随机变量，也即它的价值到时刻\(\rm

n\)才完全确定。非负的衍生证券也称为未定权益，简称权益。期权是权益的一种。一个在时刻\(\rm n\)到期的权益\(\rm

V_n\)称为可对冲（或复制）的，是说存在资金\(\rm X_0\)与一个投资策略\(\Delta\)使其自融资下的财富过程\(\rm X\)满足\(\rm

X_n=V_n\)，这时\(\rm

X_0\)称为\(\rm

V_n\)的风险中性定价。一个市场完备是指任何权益可对冲。

市场的有效性是对任何投资而言的，因此如果市场有效，那么权益在市场上的定价应该时唯一的，否则自然可以通过买卖获得套利，这个价格就是权益的风险中性定价。

定理3.4.4 如果市场有效且完备，那么权益\(\rm V_n\)的价格必须是其风险中性定价。

证明